#14 加法定理登場! その1
おはようございますこんばんは、医学生Gです。みなさん、加法定理はもう学校で習いましたか?長い式を丸暗記しなくてはならない…と思うと辛くなりますよね。今回は加法定理を単位円を使って証明する方法を紹介していきたいと思いますので、1)~2)まで読んでみてください。
1)加法定理
まず、加法定理の確認から。
式の真ん中の符号はプラマイマイプラで覚えよう!
覚え方は”イチマイタンタンタンプラタン”←グラタンみたいで美味しそうですね(笑)
ちなみに、tan(α+β)、tan(α-β)の式の真ん中の符号も上からプラマイマイプラになっていますね。
2)単位円での証明
これは実際に東大の入試問題として出題されたこともあります。基本をしっかり押さえよ という東大からのメッセージですね。(1)〜(5)まであります。
(1)cos(α+β)
上図のように点と角度を設定します。
A(1,0)、B(,)、C(,)、
D(,)=(,)、*β1=β
上図のように、補助線を引くと三角形が2つできますね。
ここで、△AOCと△BODは、2辺とその間の角が等しいため△AOC≡△BODであると言えます。
CA=BDなので各点の座標を用いて以下のように立式すると、
より
展開すると、
より
式を整理します。
全体を-2で割りると
これでの証明が終わりました。
以下の(2)〜(4)はcos(α+β)をベースに考えますので、最低でも(1)はしっかりと覚えておきましょう。
(2)cos(α-β)
の証明はβを-βに変えるだけです。
(3)sin(α+β)
ここからの証明をしたいと思います。
以前の記事#13で説明した90°+θのθを-θに変えただけである90°-θを利用すると、cosをsinに変えることができます。
*cos(90°-θ)=sinθ
これを利用すると
ここで90°-(α+β)を(90°-α)と-βに分けます
これでの証明は終わりです。
(4) sin(α-β)
は の時と同じでβを-βに変えます。
すると、
(5)tan(α+β)、tan(α-β)
tan(α+β)、 tan(α-β)はを利用して求めます。
ここで、分母分子をcosαcosβで割ります。
すると、
を利用して整理すると、
これも分母分子をcosαcosβで割ります。
すると、
またを利用して整理しましょう!
長々となりましたが、これで全ての加法定理の証明が終わりましたね。
加法定理の証明はまず単位円を用いてベースであるを求めてから、残り3つをこんな感じで証明しますので、一度はしっかりと理解してください。最低でも(1)はできるようにしましょう。東大が以前出しているので、もしかしたらあなたが受ける大学の入試問題で出るかもですよ?(笑)
次回の記事は長方形を使った、直感的に分かりやすい加法定理の説明をしますので、ぜひそちらも読んでみてください。今回の記事で加法定理の証明はしっかりと覚えておきましょう。