医学生Gの数学ノート

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#15.5【2020年度大学入試 予想問題 】

おひさしぶりです。

2020年度入試にどこかの大学で出題されそうな問題を思いつきましたので共有しておきたいと思います。

早速ですが問題はこちらです!

 

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数Aの整数の単元を履修していれば解けると思います。

基本の確認ができる良問ではないかと自負しておりますので、皆さん是非考えてみてくださいね(^^)

ハイレベルな方、物足りなかったらゴメンナサイ💦

 

考えた人は以下の解答を見てみてください。

わからない人は回答の前にヒントを乗せておきますので参考にしてください。

 

[ヒント]

条件Bについて

6,7,8,9で割って4余る数を考える前に、とりあえず6と7で考えてみよう。

6で割って4余る数 4 10 16 22 28 34 40 46 52
7で割って4余る数 4 11 18 25 32 39 46 53 60

 上の表のように6で割って4余る数と7で割って4余る数を並べて見ました。では、6で割っても7で割っても4余る数はどこでしょうか。赤文字になってる446です。46の次の数は何になるでしょうか。6と7の最小公倍数である42ごとに間隔を空けて存在すると思いませんか。実際に4と46も42の間隔が空いてます。

 つまり、6と7両方で割っても4余る数は 42n+4 (nは整数)  の形で表すことができると考えられます。それでは、6,7,8,9で割って4余る数は…???

 

それでは後は解答を参考にしてください。

 

 

 

 

[解答]

まず条件Bについて考える。

6,7,8,9の最小公倍数は504 ( 2^3×3^2×7=504 )であるということから、“6,7,8,9のいずれの数で割っても4余る自然数” は、504ごとに間隔を空けて存在する。さらに4 は “6,7,8,9のいずれの数で割っても4余る自然数” であることから

xは整数nを用いて

x=4+504n\cdots①

と表すことができる数といえる。

 

さらに条件Aより、

xは整数mを用いて

x=101m\cdots②

とも表すことができる。

 

①、②より

4+504n=101m

即ち、

101m-504n=4\cdots③

となる整数m,nが存在すれば良い。

 

ユークリッドの互除法より

504=101*4+100

101=100*1+1

であるので、

101=(504-101*4)*1+1

よって

101*5-504*1=1    (←これがすぐ思いつく人は互除法しなくていいです。)

両辺4倍して、

101*20-504*4=4\cdots④

 

 ③ー④より

101(m-20)-504(n-4)=0

よって

101(m-20)=504(n-4)\cdots⑤

 

ここで、101と504は互いに素であるから、 (※101は素数だよ)

⑤より、整数kを用いて

\begin{cases}m-20=504k\\n-4=101k\end{cases}\

即ち

\begin{cases}m=504k+20\\n=101k+4\end{cases}\

となる。

 この結果を②に代入すると

x=101×(504k+20) 

    =50904k+2020 (kは整数)

このように表される数であれば 条件A,Bを満たす。

最後に条件Cよりxは50000以下の自然数であるから、

kは 0<50904k+2020≦50000 を満たす整数でなければならない。

すると、この条件を満たすのは k=0 の場合のみに限られるので

 

求める自然数xは50904*0+2020=\underline{2020} のみである。

 

 

っという感じの問題でした!

答えが2020になる問題…どっかの私立大学で出題されないですかね?笑

 

 後半に登場する、ユークリッドの互除法を含めた不定方程式の解き方は重要なのでしっかり復習しておいてください。

 

 

ここで受験生の皆さんにお送りする大事なポイント!

 

2020という数には以下のような特徴があります。

素因数分解すると  \underline{2^2*5*101}

6,7,8,9のいずれの数で割っても4余る

③ 2通りの平方和で表すことができる  \underline{16^2+42^2=24^2+38^2=2020}

 

今回は①と②の性質を使って問題を作りました。

今回は登場しなかった③の特徴も結構凄いですよね。

知っておくといいことがあるかもしれません。

 

この記事を読んでくださる皆さんが1点でも多く得点できますように!

と、ただただお祈りする医学生Gでした。

ガンバレ受験生!(^^)