医学生Gの数学ノート

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#2 解の公式の本質 (二次方程式)

〜高1

二次方程式 ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) の解は

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

この公式は高校受験数学のヤマであり、とりあえず丸暗記した人も多いと思いますが…この解の公式、なぜこのような形になるのか考えたことはありますか？ 今回はこの公式を題材に、二次方程式解くということの本質について考えていこうと思います。

 

まずは簡単な二次方程式から解いていきましょう。

x^2=3       二乗して3になる数はなんですか？

x=\pm\sqrt3       ぷらまいルート3です。

簡単ですね。次のレベル、あえて解の公式を使わずにいきましょう。

x^2-4x+1=0   二次方程式が現れた！

(x-2)^2-3=0   平方完成をします

(x-2)^2=3    二乗して3になる数はなんですか？

x-2=\pm\sqrt3   ぷらまいルート3です。

x=2\pm\sqrt3   移項して完成！

という感じで解くことができます。

 

ここで注目してもらいたいのは、二次方程式が二次でなくなる瞬間です。

「二乗して○○になる数はなんですか？」を考えることによって二次方程式が一次方程式に変わりますよね？

左辺を(\ \ \ \ \ \ )^2 の形にしてその平方根を考える。それが、二次方程式を解くということの本質であると私は考えています。

 

さて、このことを踏まえてこれから解の公式の導出をしていこうと思います。

公式の導出といっても特別なことは何もしません。

一般化された ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) という二次方程式を

これまで通り「二乗して○○になる数はなんですか？」作戦で解くだけです。

それではやってみましょう。

 

ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)   二次方程式が現れた！

a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0    平方完成をします。

4a^2(x+\frac{b}{2a})^2=b^2-4ac     移項して両辺4a倍します。

(2a(x+\frac{b}{2a}))^2=b^2-4ac      二乗してb^2-4acになる数はなんですか？

2a(x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{b^2-4ac}     ぷらまいルートb^2-4acです。

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}     整理して完成！

 

見覚えのある式が出てきましたね。

ですから解の公式というのは特別な式ではなく、ふつう解いただけのもの。

ただ、ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) の解が

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} になる、と知っていれば

スタートからゴールまでワープできる。これが公式のすごいところです。

 

以上をまとめると、

二次方程式を解くということの本質は、

「二乗して○○になる数はなんですか？」を考えること。

解の公式を使えば、「二乗して○○になる数はなんですか？」の手順をすっ飛ばして

スタートからゴールまでワープできる

ということになります。

この記事を通して解の公式を身近に感じてもらえると嬉しいです。

 

#1【祝】医学生による数学ブログ、開設しました

深イイ話

皆さんはじめまして、医学生Gです。

GはGorillas(ゴリラ)のGです
特に深い意味はありません！ 笑
数学関連(主に高校生レベルの数学)の記事を中心に投稿していこうと思っています。どうぞよろしくお願いします(^^)
 
なんで医学生が数学の話すんねん！と思う方もいらっしゃるでしょうから、その話も含めて、自己紹介をします。
 
私は現在、某医学部医学科の大学生です。
高校生の頃は数学が大好きで、ゲーム感覚で数学の勉強ばかりしていました。
数学、物理学、経済学、医学、工学など理解全般に興味がある中で、
「医学が一番独学で習得しにくいのではないか」
という理由で医学部医学科に出願し、入試も数学パワーでねじ伏せて、晴れて大学生となりました。
 
医学生になってからは数学が得意であったことを生かしてバイトで数学の先生をしています。家庭教師、個人塾、大手予備校での質問対応などなど...。
高校生のうちは問題を解いてばっかりでしたが、教える側になると思ったより大変！手を替え品を替え、いろんな表現で説明しないと理解してもらえません。難しい！  
それでも、一生懸命説明して生徒が
「わかった！」と言ってくれる瞬間はたまらなく嬉しいんですよね。
 
そんな私ですが医学部生活も後半戦に入り、バイトができる時間もなくなってきてしまいました。このまま数学力が落ちちゃう！と思い、このブログを開設しました。
 
ですのでこのブログでは、
これまで数年間にわたり数学講師をしてきた経験を踏まえ、自分の中にある数学の知識をここに綴っていきたいと考えています。
 
引退の時期を迎えた数学の先生が最後にひと花咲かせるための場所...そんな感じでしょうか 笑
 
なんか真面目な話になってしまいましたが、「誰かの役に立ったらラッキー」 くらいの気持ちでゆるく書いていこうと思います。みなさんよろしくお願いします。