医学生Gの数学ノート

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#3 ルートについて考える (ついでに二重根号も)

〜高1

　二乗して２になる\sqrt{2}（平方根）をはじめとして、三乗して２になる\sqrt[3]{2}（立方根）、そして{g(x)}^{n}=f(x)を満たす値域０以上の関数g(x)を\sqrt[n]{f(x)}（n乗根）と書いたり、\sqrt{\qquad}にも様々な種類があります。(ビビらせてごめんなさい)

　が、その中でも今回は平方根の話と、それに関連して二重根号の外し方の話をしていきたいと思います。

 

まず平方根について説明します。

平方根とは何か、ルートとは何か  正しく説明できますか？

まず平方根について。

a=b^2であるとき、bをaの平方根と言います。

例えば4の平方根は、+2と-2の二つ、ということになります。

次にルートの話をしますが、先に言っておきます。平方根とルートは同じではありません！

 

　”X^2=2 より X=\sqrt{2}“ こんな誤答、したことありませんか？正解はX=\pm\sqrt{2}です。

　なぜかといいますと、\sqrt{\qquad}とは、正負二つある平方根のうち正(+)の方だけを指す記号だからです。X=\sqrt{2} では二つ(+\sqrt{2}と-\sqrt{2})ある平方根のうち、片一方(+\sqrt{2}だけ)しか答えていないことになります。

 

\sqrt{\qquad}の中が２のような数値なら間違える人は少ないと思いますが、ここが文字や関数になった途端、再びこのミスを犯してしまう人が多いですので注意しましょう。

ここまでのポイントは、\sqrt{\qquad}は正の数ということです。

 

　さらに実数の二乗は0以上なので、\sqrt{\qquad}内は必ず0以上であることも重要です。

正の数も負の数も二乗すれば正の数になります。二乗して負の数になることは普通ありえません。だから\sqrt{\qquad}内が負の数になることはないのです。そう、普通は…。

 

\sqrt{\qquad}内が負の数、例えば\sqrt{-4}の場合を考えましょう。二乗して−4になる数を示しますが、普通は(実数の範囲では)そんな数はありません。

ですがここで、普通でない数(複素数)を登場させていいのなら \sqrt{-4}=2i とかけます。

詳しくは数学Ⅱで学習しますが、二乗して-1となる数をiと定義することで、

「\sqrt{\qquad}内が負の数になったらどうすんねん！」

という問題を解決できます。

( 例:\sqrt{-3}=\sqrt{3}i )なお、ここで登場するiを虚数単位といいます。

 

次に二重根号の外し方について説明していきます。

　これはよく公式として覚えてしまう人が多いですが、要するに\sqrt{\qquad}内で(\qquad\qquad )^2を作っているだけですのでこの仕組みを覚えておきましょう。そうすれば、公式の覚え間違いによる符号ミスなどがなくなります。

　以下、xとyを正の数とすると、

\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}=|\sqrt{x}+\sqrt{y}|=\sqrt{x}+\sqrt{y}

\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}=|\sqrt{x}-\sqrt{y}| 

＊公式を使うときは内側の\sqrt{\qquad}の前に2があることを確認してね！

    2が無かったら式変形して頑張って2を作ります。

 

ここで、\sqrt{\qquad}を外すときに|  |をつけるのを忘れないように注意しましょう！

平方根のところでお話しした通り、\sqrt{\qquad}は正の数ですので、負の数にならないように|  |を使います。この絶対値の存在を忘れてしまう人が多いので、ルートの話に合わせて紹介してみました。

 

 

 

今回のポイントは、\sqrt{\qquad}は正負二つある平方根のうち正(+)の方だけを指す記号、よって正の数であるということ！ これをしっかり理解してもらいたいです。

そしてそれに関連して、二重根号を外すときは |   | をつけるのを忘れないようにする、ということに注意してください。

 

この記事を通してルートの扱いに少しでも自信を持ってもらえると嬉しいです。

 

　

 

#2 解の公式の本質 (二次方程式)

〜高1

二次方程式 ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) の解は

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

この公式は高校受験数学のヤマであり、とりあえず丸暗記した人も多いと思いますが…この解の公式、なぜこのような形になるのか考えたことはありますか？ 今回はこの公式を題材に、二次方程式解くということの本質について考えていこうと思います。

 

まずは簡単な二次方程式から解いていきましょう。

x^2=3       二乗して3になる数はなんですか？

x=\pm\sqrt3       ぷらまいルート3です。

簡単ですね。次のレベル、あえて解の公式を使わずにいきましょう。

x^2-4x+1=0   二次方程式が現れた！

(x-2)^2-3=0   平方完成をします

(x-2)^2=3    二乗して3になる数はなんですか？

x-2=\pm\sqrt3   ぷらまいルート3です。

x=2\pm\sqrt3   移項して完成！

という感じで解くことができます。

 

ここで注目してもらいたいのは、二次方程式が二次でなくなる瞬間です。

「二乗して○○になる数はなんですか？」を考えることによって二次方程式が一次方程式に変わりますよね？

左辺を(\ \ \ \ \ \ )^2 の形にしてその平方根を考える。それが、二次方程式を解くということの本質であると私は考えています。

 

さて、このことを踏まえてこれから解の公式の導出をしていこうと思います。

公式の導出といっても特別なことは何もしません。

一般化された ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) という二次方程式を

これまで通り「二乗して○○になる数はなんですか？」作戦で解くだけです。

それではやってみましょう。

 

ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)   二次方程式が現れた！

a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0    平方完成をします。

4a^2(x+\frac{b}{2a})^2=b^2-4ac     移項して両辺4a倍します。

(2a(x+\frac{b}{2a}))^2=b^2-4ac      二乗してb^2-4acになる数はなんですか？

2a(x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{b^2-4ac}     ぷらまいルートb^2-4acです。

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}     整理して完成！

 

見覚えのある式が出てきましたね。

ですから解の公式というのは特別な式ではなく、ふつう解いただけのもの。

ただ、ax^2+bx+c=0\ (a\neq0) の解が

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} になる、と知っていれば

スタートからゴールまでワープできる。これが公式のすごいところです。

 

以上をまとめると、

二次方程式を解くということの本質は、

「二乗して○○になる数はなんですか？」を考えること。

解の公式を使えば、「二乗して○○になる数はなんですか？」の手順をすっ飛ばして

スタートからゴールまでワープできる

ということになります。

この記事を通して解の公式を身近に感じてもらえると嬉しいです。

 

#1【祝】医学生による数学ブログ、開設しました

深イイ話

皆さんはじめまして、医学生Gです。

GはGorillas(ゴリラ)のGです
特に深い意味はありません！ 笑
数学関連(主に高校生レベルの数学)の記事を中心に投稿していこうと思っています。どうぞよろしくお願いします(^^)
 
なんで医学生が数学の話すんねん！と思う方もいらっしゃるでしょうから、その話も含めて、自己紹介をします。
 
私は現在、某医学部医学科の大学生です。
高校生の頃は数学が大好きで、ゲーム感覚で数学の勉強ばかりしていました。
数学、物理学、経済学、医学、工学など理解全般に興味がある中で、
「医学が一番独学で習得しにくいのではないか」
という理由で医学部医学科に出願し、入試も数学パワーでねじ伏せて、晴れて大学生となりました。
 
医学生になってからは数学が得意であったことを生かしてバイトで数学の先生をしています。家庭教師、個人塾、大手予備校での質問対応などなど...。
高校生のうちは問題を解いてばっかりでしたが、教える側になると思ったより大変！手を替え品を替え、いろんな表現で説明しないと理解してもらえません。難しい！  
それでも、一生懸命説明して生徒が
「わかった！」と言ってくれる瞬間はたまらなく嬉しいんですよね。
 
そんな私ですが医学部生活も後半戦に入り、バイトができる時間もなくなってきてしまいました。このまま数学力が落ちちゃう！と思い、このブログを開設しました。
 
ですのでこのブログでは、
これまで数年間にわたり数学講師をしてきた経験を踏まえ、自分の中にある数学の知識をここに綴っていきたいと考えています。
 
引退の時期を迎えた数学の先生が最後にひと花咲かせるための場所...そんな感じでしょうか 笑
 
なんか真面目な話になってしまいましたが、「誰かの役に立ったらラッキー」 くらいの気持ちでゆるく書いていこうと思います。みなさんよろしくお願いします。