医学生Gの数学ノート

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#3 ルートについて考える (ついでに二重根号も)

〜高1

　二乗して２になる $\sqrt{2}$ （平方根）をはじめとして、三乗して２になる $\sqrt[3]{2}$ （立方根）、そして ${g(x)}^{n}=f(x)$ を満たす値域０以上の関数 $g(x)$ を $\sqrt[n]{f(x)}$ （n乗根）と書いたり、 $\sqrt{\qquad}$ にも様々な種類があります。(ビビらせてごめんなさい)

　が、その中でも今回は平方根の話と、それに関連して二重根号の外し方の話をしていきたいと思います。

まず平方根について説明します。

平方根とは何か、ルートとは何か正しく説明できますか？

まず平方根について。

$a=b^2$ であるとき、bをaの平方根と言います。

例えば4の平方根は、+2と-2の二つ、ということになります。

次にルートの話をしますが、先に言っておきます。平方根とルートは同じではありません！

　” $X^2=2$ より $X=\sqrt{2}$ “ こんな誤答、したことありませんか？正解は $X=\pm\sqrt{2}$ です。

　なぜかといいますと、 $\sqrt{\qquad}$ とは、正負二つある平方根のうち正(+)の方だけを指す記号だからです。 $X=\sqrt{2}$ では二つ( $+\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ )ある平方根のうち、片一方( $+\sqrt{2}$ だけ)しか答えていないことになります。

$\sqrt{\qquad}$ の中が２のような数値なら間違える人は少ないと思いますが、ここが文字や関数になった途端、再びこのミスを犯してしまう人が多いですので注意しましょう。

ここまでのポイントは、 $\sqrt{\qquad}$ は正の数ということです。

　さらに実数の二乗は0以上なので、 $\sqrt{\qquad}$ 内は必ず0以上であることも重要です。

正の数も負の数も二乗すれば正の数になります。二乗して負の数になることは普通ありえません。だから $\sqrt{\qquad}$ 内が負の数になることはないのです。そう、普通は…。

$\sqrt{\qquad}$ 内が負の数、例えば $\sqrt{-4}$ の場合を考えましょう。二乗して−4になる数を示しますが、普通は(実数の範囲では)そんな数はありません。

ですがここで、普通でない数(複素数)を登場させていいのなら $\sqrt{-4}=2i$ とかけます。

詳しくは数学Ⅱで学習しますが、二乗して-1となる数をiと定義することで、

「 $\sqrt{\qquad}$ 内が負の数になったらどうすんねん！」

という問題を解決できます。

( 例: $\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$ )なお、ここで登場するiを虚数単位といいます。

次に二重根号の外し方について説明していきます。

　これはよく公式として覚えてしまう人が多いですが、要するに $\sqrt{\qquad}$ 内で $(\qquad\qquad )^2$ を作っているだけですのでこの仕組みを覚えておきましょう。そうすれば、公式の覚え間違いによる符号ミスなどがなくなります。

　以下、xとyを正の数とすると、

$\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}=|\sqrt{x}+\sqrt{y}|=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$

＊公式を使うときは内側の $\sqrt{\qquad}$ の前に2があることを確認してね！

2が無かったら式変形して頑張って2を作ります。

ここで、 $\sqrt{\qquad}$ を外すときに| |をつけるのを忘れないように注意しましょう！

平方根のところでお話しした通り、 $\sqrt{\qquad}$ は正の数ですので、負の数にならないように| |を使います。この絶対値の存在を忘れてしまう人が多いので、ルートの話に合わせて紹介してみました。

今回のポイントは、 $\sqrt{\qquad}$ は正負二つある平方根のうち正(+)の方だけを指す記号、よって正の数であるということ！ これをしっかり理解してもらいたいです。

そしてそれに関連して、二重根号を外すときは | | をつけるのを忘れないようにする、ということに注意してください。

この記事を通してルートの扱いに少しでも自信を持ってもらえると嬉しいです。

　