医学生Gの数学ノート

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#5 数の種類　part1

〜高1

　突然ですが「数」って人類が生み出した、ものすごい発明品だと思いませんか？

今私たちの身のまわりには数字があふれていて、物事の程度を知ったり、それらを比較したりするのに役立っています。

　

さて、本題に入りますが、「◯◯数」って言葉、いくつ挙げられますか？

よく耳にするのは実数とか自然数とかでしょうか。

このような「◯◯数」たちは開発された順に系統立てて整理することができます。

諸説ありますが、

「まずはじめに自然数が開発され、そこから必要に応じて拡張されていき、より複雑な数が誕生していった」

と考えるとよいと私は思います。まあ、細かいところは多少目をつぶりつつ、ざっくりと説明していきます。

1)自然数( $\mathbb{N}$ ) :Natural number のN

最初に登場する数です。自然数は1,2,3,4…みたいな数のことをいい、1個、2個、3個…などと物を数えるのに使います。

これを使えば四則演算(+-×÷)も日常のレベルなら、ある程度問題なくできます。

※自然数は、「正の整数」とも言えます。

2)整数( $\mathbb{Z}$ ) :Zahlen(ドイツ語)由来

ひとことで説明すると「自然数 $\mathbb{N}$ に0と負の整数を加えたもの」と言えます。

引き算をしていて　5-5=? 5-7=? のような場面に遭遇した場合、0や負の整数が必要になってきますよね。

整数 $\mathbb{Z}$ は、このような引き算における問題を克服するため、自然数 $\mathbb{N}$ を拡張してできた数と言えると思います。

3)有理数( $\mathbb{Q}$ ) :英単語 Quotient(商)由来

有理数は2つの整数a,bで $\frac{a}{b}$ と分数の形で表せる数のことです。

そう、分数が使えるようになったんです。

割り算で　1÷3=0.3333… ←これどうするの？永遠に書くの？

というような場面から必要になってきたんだと思います。

分数を使えば $\frac{1}{3}$ と書けて解決しますね。

有理数 $\mathbb{Q}$ の登場により割り算の結果は基本的に表せるようになりました。

もちろんこれまでに登場した整数 $\mathbb{Z}$ も、分母が1の分数の形で表すことができるので有理数です。(例 $3=\frac{3}{1}$ )

4)実数( $\mathbb{R}$ ) :Real numberのR

実数 $\mathbb{R}$ は有理数 $\mathbb{Q}$ に無理数というヤツを加えたものです。

面積と長さの関係とかを考えていくと必要になってきます。

(土地の分割仕方を考えたりと、結構昔から考えられてきたことだと思います。)

面積２の正方形の一辺の長さは？となった時に無理数を登場させれば $\sqrt{2}$ と答えることができます。

無理数とは分数の形にできない数のことを言います。 $\sqrt{2}$ など、ルート付きの数には分数で表せないものが多いです。

( $\sqrt{1}$ とか $\sqrt{4}$ とか $\sqrt{9}$ とか…なら整数になってくれるので有理数なんですけどね。その他多数の、キレイな整数にならないルートは大体無理数です。)

のちに、π(円周率)やe(自然対数の底), $\varphi$ (黄金比)などの特別な数も、分数で表せない(循環しない無限小数である)ことがわかり、無理数と分類されました。

ちなみに、この無理数を含む実数 $\mathbb{R}$ までの範囲で数直線が完成します。

これまでに登場した

π、 $\sqrt{2}$ 、0、 $\frac{2}{5}$ 、-4

などこれら全部、数の大小を比較できますからね。

5)複素数( $\mathbb{C}$ ) :Complex number のC

複素数 $\mathbb{C}$ は、Real Number(実数)と Imaginary Number(虚数) を合わせたものです。

　複素数は $a+bi$ の形で表しますが、実部(a)と虚部(bi)の２つの数を組み合わせた形であることがなんとも特徴的ですね！

ここで登場するiは虚数単位と呼ばれ、 $i^2=-1$ と定義されます。

二乗してマイナスになる数なんてこれまでにはなかったですよね。

ですのでiを含む数は、実数とは違う架空の数ということで、

Imaginary Number(虚数)と呼ばれるのです。

$a+bi$ のbを0にするとiが登場する虚部がなくなるので実数となります。

(例: $2\qquad(a=2,b=0)$ )

逆に言えば、これまでの 1)自然数から4)実数までは全て、

複素数のうちb=0 の場合のみを考えてきたことになります。

bが0でないときは虚部が登場するので虚数といい、これまでの実数とは区別されます。

(例: $2+3i\qquad(a=2,b=3)$ )

特に、 $a=0,b \ne0$ の場合は実部が消え、純虚数と呼ばれます。

(例: $3i\qquad(a=0,b=3)$ )

#3,4で触れましたが、複素数 $\mathbb{C}$ は二次方程式の演算をする上で必要になってきます。

例えば $x^2-x+1=0$ の解、 $x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$ は

$\sqrt{-3}$ の部分がルートの中に負の数！おかしな事になっています。

ルートの中は0以上なのに！ (#3 ルートについて考える)

このような場合に虚数単位iを用いて $x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ とすればいいのです。

今回の記事をまとめるとこうなります。

$\mathbb{C}\supset\mathbb{R}\supset\mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}$

※ $A\supset B$ $\to$ BはAに含まれることを言います。

ごめんなさい難しいですよね。

表にするとこんな感じです！

この表が何も見ずに書けるようになればバッチリだと思います。

f:id:sarugorirag:20190701125809j:plain — 数の種類と包含関係

今回の記事は以上になります。

何事も順を追って一歩ずつ理解していくことが大切ですね。